di Roberto Verrastro
10/11/2006


Alcuni scienziati, oltre a dimostrare quanto sia complicato riuscirci in modo che nessuno rimanga insoddisfatto, propongono una soluzione matematica al problema ricorrente di ogni festa, quello che ogni ospite si senta tenuto nella giusta considerazione, ricevendo ciò che per quantità e qualità non sfiguri in confronto a quella del commensale a fianco



Nessuno potrà mai accusarli di volersi prendere tutta la torta, e non solo perché il loro mestiere è diverso da quello del politico intrallazzatore o del finanziere d'assalto. Steven J. Brams, politologo della New York University, Michael A. Jones, matematico della Montclair State University, nel New Jersey, e Christian Klamler, docente del dipartimento di Economia pubblica dell'austriaca Università di Graz, sono infatti gli autori di un articolo pubblicato dalla rivista Notices of the American Mathematical Society (http://www.ams.org/notices/200611/fea-brams.pdf) che, oltre a dimostrare quanto sia complicato spartire una torta in modo che nessuno rimanga insoddisfatto, propone anche una soluzione matematica al problema ricorrente di ogni festa, quello che ogni ospite si senta tenuto nella giusta considerazione, ricevendo una bella fetta di torta che per quantità e qualità non sfiguri in confronto a quella del commensale che ha a fianco.

Consapevoli che, come scrivono in apertura dell'articolo, "una torta è una metafora di un bene eterogeneo e divisibile le cui parti possono essere valutate in modo differente da persone differenti", i tre studiosi notano che, anche nel caso ipotetico in cui una torta vada divisa tra due sole persone, il metodo più ovvio e semplicistico a disposizione, quello riassunto dalla frase "Io taglio, tu scegli", non garantisce affatto che non sorgano recriminazioni. La scelta tra due metà della stessa grandezza operata da uno dei due contendenti potrebbe non essere imparziale, perché a chi ha eseguito il taglio potrebbe rimanere la metà che soggettivamente valuta meno appetibile, se colui al quale è stata lasciata la scelta si è invece riservato la parte con la maggior quantità dell'ingrediente che preferisce, per esempio il cioccolato o la panna.

Questo problema viene dunque aggirato dalle due procedure individuate dal terzetto di scienziati sensibili alla giustizia dolciaria, quella che attribuisce a ciascuno il suo, ma a condizione che gli sia gradito. La prima viene definita Surplus Procedure (SP), dove il surplus in questione è il segreto che permette al tagliatore di torte di fare bella figura accontentando tutti per davvero. Nel caso di una divisione tra due persone, la procedura prevede infatti che chi si appresta a dividere il dolce chieda all'altro cosa gli piaccia di più della delizia del palato che hanno di fronte, e non per una semplice questione di cortesia. Ognuno di loro riceve infatti la metà della parte che soggettivamente gli sembra più appetibile per la presenza di un determinato ingrediente, mentre le due metà restanti, cioè il surplus, vengono divise in modo proporzionale alla valutazione che entrambi ne danno, in base tanto ai loro gusti quanto alla ricchezza e varietà di ingredienti e decorazioni della torta. La seconda procedura, detta Equitability Procedure (EP), non è altro che l'estensione della prima a tre o più persone: dopo che, anche in questo caso, tutti hanno dichiarato cosa prediligono della torta (e secondo gli autori dell'articolo non esisterebbe alcun motivo ragionevole che possa indurre qualcuno a mentire sui suoi gusti, finché si tratta di torte), ognuno ne riceve una quantità proporzionale al numero di persone che devono spartirsela: un terzo se la spartizione riguarda tre ospiti, un quarto se gli ospiti sono quattro e così via. Anche in questo caso l'autentica imparzialità della divisione è garantita dal fatto che le parti rimanenti vengono ulteriormente divise secondo la considerazione soggettiva dei presenti, regolarmente ignorata quando ci si limita a dividere in parti uguali.

Com'è intuibile, l'applicabilità di queste procedure dipende anche dal buon senso: se esse per la prima volta stabiliscono un metodo caratterizzato da quella che i tre autori definiscono "imparzialità proporzionale", riassumibile di fatto in due formule ma sviluppato in tutta la sua complessità logica e matematica, non si può tuttavia pretendere che esse funzionino nel caso di una torta gigantesca da dividere fra decine di persone, o di una torta di dimensioni modeste che quattro o cinque persone tentano di dividersi sottilizzando sui propri gusti relativi a ogni più piccolo elemento della decorazione. Nelle intenzioni dei tre ricercatori, la metafora della torta è quella che meglio si presta a una geniale dimostrazione matematica di cosa sia realmente in gioco nella spartizione di un bene prezioso: la soddisfazione ricavata da quest'ultimo non corrisponde semplicemente alla quantità che ci si trova a disposizione, ma alla possibilità di goderne in proporzione al bisogno che viene avvertito.